Le binaire

Introduction

Dans le monde humain, nous utilisons régulièrement 1010 chiffres. C’est ce que nous appelons le système décimal. L’ordinateur, lui, ne comprend que 102 chiffres, le 0 et le 1. C’est le système binaire.

Claude Shannon démontra, dans les années 30, qu’avec l’aide de contacteurs (interrupteurs électriques), il est possible de réaliser des opérations logiques.

Pour mieux comprendre le binaire, regardons à l’intérieur du processeur d’un ordinateur. Un processeur est constitué de plusieurs millions de transistors. Ces transistors fonctionnent comme des interrupteurs électriques : soit ils laissent passer le courant, soit ils le bloquent. Il n’y a donc que deux états possibles : soit il y a du courant (1), soit il n’y en a pas (0).

Principe

En arithmétique, une base est la valeur qui sert à définir un système de numération. La base la plus connue est la base du système décimal, qui est celle que nous employons couramment. Nous employons aussi, sans le savoir, plusieurs autres bases :

  • la base sexagésimale, pour les minutes et les secondes (base 60) ;
  • la base duodécimale, pour les mois et les heures (base 12) ;
  • la base sénaire, pour les dés à jouer (base 6).

En informatique, les bases les plus couramment utilisées sont :

  • le binaire (base 2) ;
  • l’octal (base 8, pour grouper les bits en triplets), de 0 à 7 ;
  • l’hexadécimal (base 16, pour grouper les bits en nibbles1), de 0 à F.

Quelque soit la base, chaque nombre suit la relation mathématique :

 \sum_{i=0}^n {(b_i a^i)} = b_n a^n + {...} + b_3 a^3 + b_2 a^2 + b_1 a^1 + b_0 a^0

où bi est la valeur numérique de rang i et ai la puissance de la base a de rang i.

Exemple :  2496_{10} = 2 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0

Par convention, la base de travail est notée en indice

Représentation décimale

La représentation décimale comporte dix chiffres, de 0 à 9. Si l’on regarde bien, le nombre 10 est constitué de 2 chiffres : le 1 et le 0. Imaginez le compteur kilométrique de votre voiture.

00000009

Que se passe-t-il si vous continuez à rouler ? Le rouleau des dizaines passe à 1, et celui des unités revient à 0. Idem au passage de 99 à 100.

Nous pouvons aussi représenter nos nombres dans un abaque. Plaçons le nombre 1453 dans l’abaque.

10³10²10¹10⁰
1453

Le nombre 1453 est décomposé en : 1 \cdot 1000 + 4 \cdot 100+5 \cdot 10+3 , ou, de manière plus mathématique :  1 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0

Représentation binaire

Reprenons le compteur de la voiture. En binaire, il n’existe que 0 et 1, donc que se passera-t-il si nous roulons ?

00000001

Le principe n’a pas changé : le rouleau de droite retourne à 0, tandis que l’autre passe à 1. En roulant, nous verrons successivement 0000 0000, 0000 0001, 0000 0010, etc.

Reprenons maintenant le principe de l’abaque. Plaçons le nombre 1110 :

2⁷2⁶2⁵2⁴2⁰
00001110

Le nombre 1110 est décomposé en  1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 , ou plus simplement  2^3+2^2+2^1

On représente aussi un nombre binaire sous la forme 1110b ou b1110.

Le bit

Le bit (pour Binary DigIT) est la plus petite unité informatique manipulable par les ordinateurs. Un bit ne peut posséder que deux états : soit 0, soit 1. Si nous prenons 2 bits, nous pouvons donc avoir 4 états différents :


a
01
b00001
11011

De même, avec 3 bits, nous pouvons obtenir 8 états différents. De manière générale, pour un groupe de n bits, nous avons 2n valeurs différentes.

Poids binaire

Dans un nombre binaire, la valeur d’un bit dépend de sa position. Cette position s’appelle le poids binaire. Ce poids se compte en partant de la gauche du nombre binaire. Le poids d’un bit augmente d’une puissance, en lisant de droite à gauche à partir de zéro. Ainsi, le dernier bit à droite d’un nombre binaire est de 0, le 4e bit est de poids 3, etc.

Représentation octale

Le système octal est un système de numération allant de 0 à 7. Le principe est le même que pour le binaire ou le décimal. On utilisera généralement le système octal pour grouper les bits en triplets. En effets, en groupant les bits par 3, chaque groupe ne peut posséder que 8 valeurs différentes (de 000 à 111).

Cette base obéit aux mêmes règles de décomposition. Par exemple, le nombre 7628 se décomposera en :

762_8 = 7 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^1+2 \cdot 8^0= 7 \cdot 64_{10}+6 \cdot 8_{10}+2 \cdot 1_{10}=448_{10}+48_{10}+2_{10}=498_{10}

Nous remarquons donc que 7628=49810, d’où l’importance de spécifier la base de travail !

En informatique, le système octal se notera en précédant le nombre d’un 0 ( 762_8 sera noté 0762).

 Représentation hexadécimale

Le système hexadécimal est la notation la plus employée en informatique. Elle permet à l’utilisateur humain de travailler avec des nombres binaires assez élevés. Les bits seront groupés en nibbles (4 bits), notés de 0 à F (A vaut 1010, jusque F valant 1510).
La règle de décomposition est aussi valable pour le système hexadécimal.

En informatique, le système hexadécimal se notera en précédant le nombre d’un 0x ou du symbole $. le nombre 0F_{16} sera noté 0x0F.

1Un nibble est un groupement de 4 bits.

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